Question

已知函數(shù)在處存在極值。

(1)求實數(shù)的值；

(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實根個數(shù)。

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，.………………1分

因為函數(shù)在處存在極值，所以

解得.………………4分

(2) 由（I）得

根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).

若，則，

由是直角得，，即，

即.此時無解；………………6分

    若，則. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即. 同理有，即=0，   .

因為函數(shù)在上的值域是，

   所以實數(shù)的取值范圍是.………………8分

（3）由方程，知，可知0一定是方程的根，…10分

所以僅就時進行研究：方程等價于

構(gòu)造函數(shù)

  對于部分，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線的一部分，

當(dāng)時取得最大值，其值域是；

   對于部分，函數(shù)，由，

知函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，①當(dāng)或時，方程有兩個實根；

②當(dāng)時，方程有三個實根；

          ③當(dāng)時，方程有四個實根. ……