【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形,,,且,,為的中點(diǎn).
求證:;
求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】證明見解析;.
【解析】
利用勾股定理,線面垂直的判定定理和性質(zhì)求證即可.
以為原點(diǎn),分別以,所在直線為軸,軸,過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,進(jìn)而求出,設(shè)直線與平面所成角為,即可利用公式求出直線與平面所成角的正弦值.
解:因?yàn)?/span>,
所以,
又為的中點(diǎn),
所以,,
連接,在中,為的中點(diǎn),
所以.
因?yàn)?/span>,
所以,
又,
所以平面.
又平面,
所以.
如圖,以為原點(diǎn),分別以,所在直線為軸,軸,過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由,得
令,可得.
設(shè)直線與平面所成角為,
則.
即直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得“對任意恒成立”?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題:
①對立事件一定是互斥事件;②若A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對立事件.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長春市統(tǒng)計(jì)局對某公司月收入在元內(nèi)的職工進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì),并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示職工月收入在區(qū)間內(nèi),單位:元).
(Ⅰ)請估計(jì)該公司的職工月收入在內(nèi)的概率;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購,網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分,其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況,在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了人,并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表(已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過元):
消費(fèi)金額(單位:百元) | ||||||
頻數(shù) |
由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額(單位:元)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值,).現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生,記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在元至元之間的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望;
市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi),特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值元的飯卡,并推出一檔“勇闖關(guān),送大獎(jiǎng)”的活動.規(guī)則是:在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個(gè)方格.棋子開始在第格,然后擲一枚均勻的硬幣(已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是,其中),若擲出正面,將棋子向前移動一格(從到),若擲出反面,則將棋子向前移動兩格(從到).重復(fù)多次,若這枚棋子最終停在第格,則認(rèn)為“闖關(guān)成功”,并贈送元充值飯卡;若這枚棋子最終停在第格,則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”,不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì),活動結(jié)束.
①設(shè)棋子移到第格的概率為,求證:當(dāng)時(shí),是等比數(shù)列;
②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”,試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小,并說明理由.
參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)當(dāng)在上恒成立時(shí),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2),直線和曲線交于、兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是無窮等比數(shù)列,若的每一項(xiàng)都等于它后面所有項(xiàng)的倍,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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