Question

已知二項(xiàng)式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點(diǎn)為切點(diǎn)）的斜率，則(

x

-

1

3 x

)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（　�。�

A．3和4

B．3

C．4

D．4和5

Answer 1

分析：把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程求得m=-6，或 m=4，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得二項(xiàng)式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于-10或10．再根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式可得 n=5，
由此求得 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

解答：解：把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程可得 24=m²+2m，求得m=-6，或 m=4，
故拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點(diǎn)為切點(diǎn)）的斜率為2m+2=-10，或10．
故二項(xiàng)式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于-10或10．
二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•（-1）^r•x-

r

3

=（-1）^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令3n-5r=0，r=

3n

5

，再由r為自然數(shù)，（-1）^r•

C

r n

=±10，可得 n=5．
故 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 （-1）²•

C

2 5

•x

15-10

6

，故(

x

-

1

3 x

)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是3，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．