Question

在某個(gè)QQ群中有n名同學(xué)在玩一種叫“數(shù)字哈哈鏡”的游戲．這些同學(xué)編號(hào)依次為1，2，3，…．，n..在哈哈鏡中，每個(gè)同學(xué)看到的像用數(shù)對(duì)（p，q）表示．規(guī)則如下：編號(hào)為k的同學(xué)看到的像為（a_k，a_k+1），且滿(mǎn)足a_k+1-a_k=k（k∈N*），已知編號(hào)為1的同學(xué)看到的像為（5，6），則編號(hào)為4的同學(xué)看到的像為

（11，15）

；某位同學(xué)看到的像為（195，q），其中q的值被遮住了，請(qǐng)你幫這位同學(xué)猜出q=

215

．

Answer 1

分析：由游戲規(guī)則中“編號(hào)為k的同學(xué)看到像為（p，q）中的（a_k，a_k+1），編號(hào)為k+1的同學(xué)看到像為（a_k+1，a_k+2），這樣就找到了游戲進(jìn)行的一個(gè)聯(lián)系，同時(shí)注意到a_k+1-a_k=k（k∈N*），至此，本題中的題意就浮現(xiàn)出來(lái)．

解答：解：（1）由題意規(guī)律，編號(hào)為1的同學(xué)看到的像是（5，6），
∴編號(hào)為2的同學(xué)看到的像是（6，8），
編號(hào)為3的同學(xué)看到的像是（8，11），
編號(hào)為4的同學(xué)看到的像是（11，15）．
（2）設(shè)編號(hào)為n的同學(xué)看到的像是（b_n，a_n），
則b₁=5，a₁=6，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-1．
由題意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+3+…n=

(n+2)(n-1)

2

．．
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

，
bn=an-n=

n2-n+10

2

，
當(dāng)bn=an-n=

n2-n+10

2

=195時(shí)，n=20，
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

=

400+20+10

2

=215．
故答案為：（11，15），215．

點(diǎn)評(píng)：本題以QQ作為背景、以數(shù)字哈哈鏡面游戲規(guī)則形式給出信息，考查學(xué)生閱讀信息、搜集信息、加工信息的能力．考查靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．