【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, 平面,點(diǎn) 分別為, 的中點(diǎn),且 .

(1)證明: 平面;

(2)設(shè)直線與平面所成角為,當(dāng)內(nèi)變化時(shí),求二面角的取值范圍.

【答案】(1) 見解析;(2) .

【解析】試題分析:()根據(jù)直線與平面平行的判定定理,需在平面內(nèi)找一條與平行的直線.結(jié)合題設(shè)可取取中點(diǎn),連接, 易得四邊形為平行四邊形,從而得,問(wèn)題得證.

)思路一、首先作出二面角的平面角,即過(guò)棱BC上一點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)作棱BC的垂線.因?yàn)?/span>,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),則.連接,因?yàn)?/span>平面,所以AMPM在面ABC內(nèi)的射影,所以,所以即為二面角的平面角.再作出直線與平面所成的角,即作出AC在平面PBC內(nèi)的射影., 平面,從而平面平面.過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)知平面.連接,于是就是直線與平面所成的角.在中,找出的關(guān)系,即可根據(jù)的范圍求出的范圍. 思路二、以所在的直線分別為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量亦可求解.

試題解析:()證明:取中點(diǎn),連接,

因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn),所以

四邊形為平行四邊形,則平面平面

所以平面.

)解法1:連接,因?yàn)?/span>,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),則

平面,則所以即為二面角的平面角

,所以平面,則平面平面

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,則平面

連接,于是就是直線與平面所成的角,即=

中,

中,

,

,

即二面角取值范圍為

解法2:連接,因?yàn)?/span>,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),則

平面,則所以即為二面角的平面角,設(shè)為

所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,

于是, , ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則由

可取,又,

于是,

,

,

,

即二面角取值范圍為

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)證明為定值.

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