【題目】長(zhǎng)方體中，F是AB的中點(diǎn)，直線平面，.

（Ⅰ）求長(zhǎng)方體的體積；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.

【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證，再分別求出和的長(zhǎng)度，根據(jù)體積公式計(jì)算即可；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算二面角的余弦值即可.

（1）連接BD，由平面，得，

又，所以平面，所以，

在矩形ABCD中，，，

∴，∴，∴，

同理，則四邊形為正方形，則，

∴長(zhǎng)方體體積；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，，

連接AC，在矩形ABCD中，易得，又，所以平面，

則平面的法向量可取為，

而平面的法向量可取，

設(shè)二面角的大小為，則，

所以二面角的余弦值的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問(wèn)題，擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示，平行四邊形區(qū)域?yàn)橥＼噲?chǎng)，其余部分建成綠地，點(diǎn)在圍墻弧上，點(diǎn)和點(diǎn)分別在道路和道路上，且米，，設(shè)．

（1）求停車場(chǎng)面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，停車場(chǎng)面積最大，并求出最大值（精確到平方米）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在下列命題中：①在中，，，，則解三角形只有唯一解的充要條件是：；②當(dāng)時(shí)，；③在中，若，則中一定為鈍角三角形；④扇形圓心角為銳角，周長(zhǎng)為定值，則它面積最大時(shí)，一定有；⑤函數(shù)的單增區(qū)間為，其中真命題的序號(hào)為_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著銀行業(yè)的不斷發(fā)展，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈，顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的要求越來(lái)越高，銀行為了提高柜員員工的服務(wù)意識(shí)，加強(qiáng)評(píng)價(jià)管理，工作中讓顧客對(duì)服務(wù)作出評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)分為滿意、基本滿意、不滿意三種．某銀行為了比較顧客對(duì)男女柜員員工滿意度評(píng)價(jià)的差異，在下屬的四個(gè)分行中隨機(jī)抽出40人（男女各半）進(jìn)行分析比較．對(duì)40人一月中的顧客評(píng)價(jià)“不滿意”的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按男、女分為兩組，再將每組柜員員工的月“不滿意”次數(shù)分為5組：，，，，，得到如下頻數(shù)分布表．

分組

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

（1）在答題卡所給的坐標(biāo)系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖；分別求出男、女柜員員工的月平均“不滿意”次數(shù)的估計(jì)值，試根據(jù)估計(jì)值比較男、女柜員員工的滿意度誰(shuí)高？

（2）在抽取的40名柜員員工中：從“不滿意”次數(shù)不少于20的員工中隨機(jī)抽取3人，并用X表示隨機(jī)抽取的3人中女柜員工的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)離心率為.

（1）求的方程；

（2）如圖，若菱形內(nèi)接于橢圓，求菱形面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】端午假期即將到來(lái)，永輝超市舉辦“濃情端午高考加油”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長(zhǎng)在端年節(jié)期間消費(fèi)每超過(guò)600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè)），抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案.

方案一：

從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒(méi)摸出紅球，則不打折.

方案二：

從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次

（1）若小南、小開(kāi)均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說(shuō)明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某大學(xué)自主招生考生中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)?/span>B的考生有20人.

（1）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)?/span>A的人數(shù)；

（2）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場(chǎng)共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，從這7中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和大于等于18的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】六位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為0.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和：

②若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.

當(dāng)?shù)?/span>50個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，六位同學(xué)拍手的總次數(shù)為__________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，設(shè)，.

（1）若，求與的夾角；

（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案