Question

18．微信是騰訊公司推出的一種手機(jī)通訊軟件，它支持發(fā)送語(yǔ)音短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國(guó)，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人（被稱為微商）．為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時(shí)間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50 名，其中每天玩微信超過(guò)6 小時(shí)的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：

	微信控	非微信控	合計(jì)
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合計(jì)	56	44	100

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有60%的把握認(rèn)為“微信控”與”性別“有關(guān)？
（2）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5 人并從選出的5 人中再隨機(jī)抽取3 人贈(zèng)送200 元的護(hù)膚品套裝，記這3 人中“微信控”的人數(shù)為X，試求X 的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）由列聯(lián)表計(jì)算K²，對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；
（2）依題意所抽取的5位女性中“微信控”有3人，得X的所有可能取值，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出X 的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由列聯(lián)表可知，
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（26×20-30×24）}^{2}}{56×44×50×50}$=$\frac{50}{77}$≈0.649，
∵0.649＜0.708，
∴沒(méi)有60%的把握認(rèn)為“微信控”與”性別“有關(guān)；
（2）依題意知，所抽取的5位女性中“微信控”有3人，
“非微信控”有2人，
∴X的所有可能取值為1，2，3；
且P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X 的分布列為：

X	1	2	3
P（X）	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)立性檢驗(yàn)與隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．