Question

【題目】若函數和同時在處取得極小值，則稱和為一對“函數”.

（1）試判斷與是否是一對“函數”；

（2）若與是一對“函數”.

①求和的值；

②當時，若對于任意，恒有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）與不是一對“P(1)函數”，詳見解析（2）①或.②

【解析】

（1）利用“函數”定義證明函數與不是一對“函數”；（2）①對a分a＞0，a＜0和a=0三種情況討論，利用“函數”的定義求出和的值；② 原命題等價于，構造函數求其最大值得解.

解:令.

(1)則，

因為與是一對“P(1)函數”

所以，所以.

此時，因，無極小值，

故與不是一對“P(1)函數”.

(2)①， ，

，，

若與是一對“函數”，

由，得，

1.若，則有

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因為在處取得極小值，所以，

從而，

經驗證知在處取得極小值，所以，

2.當時，則有

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因為在處取得極小值，所以；

從而，

令，

在是減函數，且，所以，從而

經驗證知在處取得極小值，所以

3.當時，，是增函數，無極小值，與題設不符.

綜上所述：或.

②因為，由①之結論知，，

易見，

故不等式等價于：，

令，則.

因為，所以單調遞減，

所以，從而.