【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,其中a>0.曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=x+1垂直.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的極值和最值.
【答案】(1)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2),增區(qū)間為[2,+∞);(2)f(x)的極小值為f(2)=ln2,無極大值;最小值ln2,最大值1.
【解析】
(1)先求導,由曲線在點處的切線與直線垂直可得,即可解得,再分別令和,即可求解;
(2)由(1)可知f(x)的極小值為f(2),無極大值,再將極值與端點值比較求得最值即可.
(1)由題,(x>0),
因為曲線在點處的切線與直線垂直,
所以,解得a=2,
所以,
令得0<x<2,令得x>2,
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2),增區(qū)間為[2,+∞)
(2)由(1)可得f(x)在(1,2)上遞減,在(2,e)上遞增,
故f(x)的極小值為f(2)=ln2,無極大值;
又因為f(1)=1,f(e),f(2)=ln2,
所以f(x)的最小值為ln2,最大值為1.
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【題目】橢圓()的左、右焦點分別為,,過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點,若,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ),是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.若直線過點,且,求直線的方程.
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【題目】某超市春節(jié)大酬賓,購物滿100元可參加一次抽獎活動,規(guī)則如下:顧客將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的人口處,小球在自由落下的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中,顧客相應獲得袋子里的獎品.已知小球每次遇到黑色障礙物時,向左向右下落的概率都為.若活動當天小明在該超市購物消費108元,按照活動規(guī)則,他可參加一次抽獎,則小明獲得A袋中的獎品的概率為_____.
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【題目】(本題16分)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了進行美麗鄉(xiāng)村建設(shè),規(guī)劃在長為10千米的河流OC的一側(cè)建一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段OAB,設(shè)曲線段OAB為函數(shù),(單位:千米)的圖象,且曲線段的頂點為;觀光帶的后一部分為線段BC,如圖所示.
(1)求曲線段OABC對應的函數(shù)的解析式;
(2)若計劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶MNPQ,綠化帶由線段MQ,QP, PN構(gòu)成,其中點P在線段BC上.當OM長為多少時,綠化帶的總長度最長?
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【題目】已知正三棱錐,一個正三棱柱的一個底面的三個頂點在正三棱錐的三條側(cè)棱上,另一底面在正三棱錐的底面上,若正三棱錐的高為15,底面邊長為12,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120.
(1)求三棱柱的高;
(2)求棱柱的上底面截棱錐所得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比.
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【題目】乒乓球賽規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負方得0分。設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,甲發(fā)球得1分的概率為,乙發(fā)球得1分的概率為,各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立,甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時,甲、乙的比分為1比2的概率為________.
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【題目】經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路汽車的車流量(千輛/h)與汽車的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為:.
(1)若要求在該段時間內(nèi)車流量超過2千輛,則汽車在平均速度應在什么范圍內(nèi)?
(2)在該時段內(nèi),若規(guī)定汽車平均速度不得超過,當汽車的平均速度為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值,并說明理由.
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