Question

試用單調(diào)性的定義討論函數(shù)y=x+

1

x

的單調(diào)區(qū)間，并畫出該函數(shù)草圖．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)圖象的作法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定函數(shù)的定義域：{x|x≠0}，在（-∞，0）和（0，+∞）兩個(gè)區(qū)間上分別討論．任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，取x₁、x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵定義域：{x|x≠0}，
∴在（-∞，0）和（0，+∞）兩個(gè)區(qū)間上分別討論．
任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）
=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1x2

），
要確定此式的正負(fù)只要確定1-

1

x1x2

的正負(fù)即可．
（1）當(dāng)x₁、x₂∈（0，1）時(shí)，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，為減函數(shù)，
（2）當(dāng)x₁、x₂∈（1，+∞）時(shí)，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，為增函數(shù)．
同理可求（3）當(dāng)x₁、x₂∈（-1，0）時(shí)，為減函數(shù)；
（4）當(dāng)x₁、x₂∈（-∞，-1）時(shí)，為增函數(shù)．
畫出函數(shù)y=x+

1

x

的圖象，如圖示：
．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，考查函數(shù)的圖象，是一道基礎(chǔ)題．