Question

（本小題滿分14分）
在數(shù)列與中，，數(shù)列的前項和滿足
,為與的等比中項，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅲ）設.證明.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）證明見解析.

本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項公式及前項和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項、不等式證明、數(shù)學歸納等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分


（Ⅰ）解：由題設有，，解得．由題設又有，，解得．
（Ⅱ）解法一：由題設，，，及，，進一步可得，，，，猜想，，．
先證，．
當時，，等式成立．當時用數(shù)學歸納法證明如下：
（1當時，，等式成立．
（2）假設時等式成立，即，．
由題設，　　
　　　　
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而
．
這就是說，當時等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何的成立．
綜上所述，等式對任何的都成立
再用數(shù)學歸納法證明，．
（1）當時，，等式成立．
（2）假設當時等式成立，即，那么
．
這就是說，當時等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何的都成立．
解法二：由題設　　
　　　　
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
將以上各式左右兩端分別相乘，得，
由（Ⅰ）并化簡得，．
止式對也成立．
由題設有，所以，即，．
令，則，即．由得，．所以，即，．
解法三：由題設有，，所以
，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡得
，．
由（Ⅰ），上式對也成立．所以，．
上式對時也成立．
以下同解法二，可得，．
（Ⅲ）證明：．
當，時，
．
注意到，故
　．
當，時，
當，時，
．
當，時，
．
所以．
從而時，有
總之，當時有，即．