10.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若$c=\sqrt{7}$,△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,求a+b的值.

分析 (1)由已知及正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,誘導公式,三角形內(nèi)角和定理化簡已知可得2sinCcosC=sinC,由sinC≠0,可求cosC,結(jié)合C的范圍即可得解.
(2)由三角形面積公式可求C的值,進而可求ab,利用余弦定理即可得解a+b的值.

解答 解:(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
即2cosCsin(A+B)=sinC,
故2sinCcosC=sinC,
可得$cosC=\frac{1}{2}$,
所以$C=\frac{π}{3}$.
(2)由已知,$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,
又$C=\frac{π}{3}$,
所以ab=6,
由已知及余弦定理得a2+b2-2abcosC=7,
故a2+b2=13,從而(a+b)2=25,
所以a+b=5.

點評 本題主要考查了正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,誘導公式,三角形內(nèi)角和定理,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.

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