Question

【題目】如圖，正方形所在平面與四邊形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，，，.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求與所成角的正弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）證明，，然后證明平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明，說(shuō)明與所成角為或其補(bǔ)角，在，求解的正弦值即可；

（3）說(shuō)明為二面角的平面角．設(shè)，則，在中與在中，求解二面角的平面角的正切值．

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，則，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

平面，

平面，.

因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，，所以，

又因?yàn)?/span>，，即，

，因此，平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接、，

四邊形為正方形，則且，

、分別為、的中點(diǎn)，且，

為的中點(diǎn)，且，且，

則四邊形為平行四邊形，，

所以與所成的角為或其補(bǔ)角，

由（1）知，平面，平面，，

設(shè)，則，，，

在中，.

因此，與所成角的正弦值為；

（3），平面平面，平面平面，平面，平面.

作，交的延長(zhǎng)線于，則．從而，平面．

作于，連接，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，所以，為二面角的平面角．

，，，，

設(shè)，則，，，

在中，，，

在中，.

因此，二面角的平面角的正切值為.