Question

已知函數f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，且a≠1，k∈R）．
（1）若f（x）的圖象關于直線y=x對稱，且f（2）=-2log_a2，求a的值．
（2）當0＜a＜1時，若f（x）在[1，+∞）內恒有意義，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=log_a（a-ka^x），知a^y=a-ka^x，x=oga

a-ax

k

，所以f（x）的反函數為：y=loga

a-ak

k

．由f（x）的圖象關于直線y=x對稱，知loga(a-kax)=loga

a-ax

k

恒成立由此能求出a．
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，設g（x）=a^1-x，由于0＜a＜1，知函數g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是單調遞增函數．所以g（x）_min=a⁰=1，由此能求出k的范圍．

解答：解：（1）∵y=log_a（a-ka^x），∴a^y=a-ka^x，∴x=oga

a-ax

k

，
∴f（x）的反函數為：y=loga

a-ak

k

            （4分）
∵f（x）的圖象關于直線y=x對稱，所以原函數與反函數是同一函數．
∴loga(a-kax)=loga

a-ax

k

恒成立，（6分）
即：a-kax=

a-ax

k

恒成立，（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立
∴

k2-1=0 1-k=0

，得：k=1，∴f（x）=log_a（a-a^x），（8分）
又∵f（2）=-2log_a2，∴loga(a-a2) =loga

1

4

，∴a-a2=

1

4

，
∴(a-

1

2

)2=0，∴a=

1

2

，（10分）
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，設g（x）=a^1-x，
由于0＜a＜1，∴函數g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是單調遞增函數．
∴g（x）_min=a⁰=1，
由k＜a^1-x在[1，+∞）上恒成立得k＜1．（15分）

點評：本題考查對數函數的圖象和性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．