【題目】已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為,,通徑長(zhǎng)(即過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng))為3,短半軸長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),線段上存在一點(diǎn),兩邊的距離相等,若,間直線的斜率是否存在?若存在,求直線的斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

1)由短半軸長(zhǎng)為可得 ,由通徑長(zhǎng)為3,可得,求出得,從而可得結(jié)果;(2)先證明,討論斜率不存在時(shí)不合題意,斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及韋達(dá)定理可得到,從而可得結(jié)果.

(1)因?yàn)槎贪胼S長(zhǎng)為,所以.

設(shè)橢圓 的半焦距為.

由題意,得,解得.

由通徑長(zhǎng)為3,得,即,解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由(1)得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

因?yàn)辄c(diǎn),兩邊的距離相等,

所以由角平分線定理,得的角平分線.

,得,即,則.

所以,所以.

易知左,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)為,則直線的方程為.設(shè)點(diǎn),.

聯(lián)立,得,

恒成立.

所以,.

,

所以.

所以,化簡(jiǎn)得,

所以,解得 ;

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),點(diǎn),,,

,不符合題意,所以舍去.

綜上,直線的斜率存在,且直線的斜率的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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方案一:每滿元可立減元;

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