【題目】如圖1,在矩形中,已知,,點,分別在邊,上,且,將梯形沿折起,使在平面上的射影恰好落在線段靠近的三等分點處,得到圖2中的立體圖形.
(1)(2)
(1)在圖2中,求證:平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)得面,根據(jù)得面,從而得到面,所以得到所以面;(2)以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,得到面的法向量為,的法向量為,根據(jù)向量夾角公式得到二面角的大小.
(1)證明:在梯形中,,
而面,面,
所以面,
在梯形中,,
而面,面,
所以面,
面,,
所以面面,
而面,
所以面;
(2)如圖,過作,作,
以為原點,以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意可求得,,所以,
于是,又,
所以,,
設(shè)面的一個法向量為,
所以,則
令,得,
又知面的一個法向量為,
設(shè)面與面所成二面角的大小為,易知為銳角,
由(1)的證明可知面平面,
所以二面角,
則,
即二面角.
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【題目】若函數(shù)f(x)=﹣x﹣cos2x+m(sinx﹣cosx)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,則m的取值范圍是____________.
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【題目】在古裝電視劇《知否》中,甲乙兩人進行一種投壺比賽,比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種,其中“有初”算“兩籌”,“貫耳”算“四籌”,“散射”算“五籌”,“雙耳”算“六籌”,“依竿”算“十籌”,三場比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為,投中“貫耳”的概率為,投中“散射”的概率為,投中“雙耳”的概率為,投中“依竿”的概率為,乙的投擲水平與甲相同,且甲乙投擲相互獨立.比賽第一場,兩人平局;第二場,甲投了個“貫耳”,乙投了個“雙耳”,則三場比賽結(jié)束時,甲獲勝的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點在線段上移動(不與重合),是的中點.
(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面
(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記表示中的最小值,設(shè),若函數(shù)至少有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】北方的冬天戶外冰天雪地,若水管裸露在外,則管內(nèi)的水就會結(jié)冰從而凍裂水管,給用戶生活帶來不便.每年冬天來臨前,工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保溫帶,用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位.某工作人員采用四層包裹法(除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層):如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線,相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一.設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm.在圖2水管的側(cè)面展開圖中,此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是( )(保溫帶厚度忽略不計)
A.B.C.D.
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【題目】2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最,編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”,見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關(guān)注,還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有10位外國人,其中關(guān)注此次大閱兵的有8位,若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪,則被采訪者中至少有2位關(guān)注此次大閱兵的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】某校高三年級有男生人,學(xué)號為,,,;女生人,學(xué)號為,,,.對高三學(xué)生進行問卷調(diào)查,按學(xué)號采用系統(tǒng)抽樣的方法,從這名學(xué)生中抽取人進行問卷調(diào)查(第一組采用簡單隨機抽樣,抽到的號碼為);再從這名學(xué)生中隨機抽取人進行數(shù)據(jù)分析,則這人中既有男生又有女生的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為( )(注:)
A.1624B.1024C.1198D.1560
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