已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx+cosωx+c
(ω>0,x∈R,c是實(shí)數(shù)常數(shù))的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)(
π
6
,1)
,與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是(
3
,-3)
,
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且
AB
BC
=-
1
2
ac
,角A的取值范圍是區(qū)間M,當(dāng)x∈M時(shí),試求函數(shù)f(x)的取值范圍.
分析:(1)利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f(x)=2sin(ωx+
π
6
)+c,再依題意可求得c及ω,從而可得函數(shù)f(x)的解析式,繼而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求其單調(diào)增區(qū)間;
(2)利用向量的數(shù)量積與誘導(dǎo)公式可求得cosB=
1
2
,又0<B<π,于是知B=
π
3
,從而知M=(0,
3
),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得函數(shù)f(x)的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=
3
sinωx+cosωx+c
=2(
3
2
sinωx+
1
2
cosωx)+c
=2sin(ωx+
π
6
)+c,
∴f(x)max=2+c=1,f(x)min=-2+c=-3,
∴c=-1;
T
2
=
3
-
π
6
=
π
2
,
∴T=
ω
=π,
∴ω=2,
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1.
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),得:kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z);
(2)依題意,
AB
BC
=|
AB
|•|
BC
|cos<
AB
BC
>=ca•cos(π-B)=-
1
2
ac,
∴cosB=
1
2
,又0<B<π,
∴B=
π
3

∴A∈(0,
3
),即M=(0,
3
);
∴當(dāng)x∈(0,
3
)時(shí),2x+
π
6
∈(
π
6
,
2
),
∴sin(2x+
π
6
)∈(-1,1],
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1∈(-3,1].
即函數(shù)f(x)的取值范圍為(-3,1].
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)中的恒等變換,考查向量的數(shù)量積與誘導(dǎo)公式,突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x>7)
,數(shù)列an滿足an=f(n)(n∈N*),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+
π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的圖象過點(diǎn)(
π
16
,2+
2
)

(Ⅰ)求ω的值及使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=
2
sin4x(x∈R)
的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|3-
1x
|,x∈(0,+∞)

(1)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b(0<a<b)使函數(shù)y=f(x)定義域值域均為[a,b],若存在,求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x-
π
3
)=sinx,則f(π)
等于( 。

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