Question

3．若“?x∈[$\frac{π}{2}$，π]，sinx+$\sqrt{3}$cosx＜m”為假命題，則實數(shù)m的范圍（-∞，-$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用和差角公式，求出sinx+$\sqrt{3}$cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]的值域，進(jìn)而根據(jù)“?x∈[$\frac{π}{2}$，π]，sinx+$\sqrt{3}$cosx＜m”為假命題，可得實數(shù)m的范圍．

解答 解：sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]
2sin（x+$\frac{π}{3}$）=[-$\sqrt{3}$，1]，
若“?x∈[$\frac{π}{2}$，π]，sinx+$\sqrt{3}$cosx＜m”為假命題，
則m∈（-∞，-$\sqrt{3}$]；
故答案為：（-∞，-$\sqrt{3}$]．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了三角函數(shù)的化簡求值及性質(zhì)，存在性問題，特稱命題等知識點，難度中檔．