Question

（2013•海淀區(qū)二模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個頂點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(0，  -

1

2

)，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a=

3

，b=1，從而可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意，直線AB有斜率，可分直線AB的斜率k=0與直線AB的斜率k≠0討論，利用弦長公式，再結(jié)合基本不等式即可求得各自情況下S_△AOB的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個頂點，
∴a=

3

，b=1，橢圓M的方程為：

x2

3

+y²=1…4分
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB的垂直平分線經(jīng)過點（0，-

1

2

），顯然直線AB有斜率，
當(dāng)直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線為y軸，則x₁=-x₂，y₁=y₂，
所以S_△AOB=

1

2

|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•

1- x12 3

=

x12(1- x12 3 )

=

1 3 x12(1-x12)

，
∵

x12(3-x12)

≤

x12+(3-x12)

2

=

3

2

，
∴S_△AOB≤

3

2

，當(dāng)且僅不當(dāng)|x₁|=

6

2

時，S_△AOB取得最大值為

3

2

…7分
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，則設(shè)AB的方程為y=kx+t，
所以

y=kx+t x2 3 +y2=1

，代入得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
當(dāng)△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有兩個不同的實數(shù)解；
又x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

…8分
所以

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，又

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，化簡得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原點到直線的距離為d=

|t|

k2+1

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
所以S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

|t|

k2+1

•

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
化簡得：S_△AOB=

1

4

3(4t-t2)

…12分
∵0＜t＜4，所以當(dāng)t=2時，即k=±

7 3

時，S_△AOB取得最大值為

3

2

．
綜上，S_△AOB取得最大值為

3

2

…14分

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想分類討論思想與弦長公式，基本不等式的綜合運用，考查求解與運算能力，屬于難題．