如圖，長方體中，，，點在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）以為坐標原點，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系．則．
，．　　　                    ……2分
有，，
故，．
又，所以平面． 　　　                                     ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一個法向量，
設(shè)向量是平面的法向量，則
  
令，則，，．                                          ……10分
．
所以二面角的余弦值為．                                            ……13分

考點：本小題注意考查空間中線面垂直的證明，二面角的求解.
點評：用空間向量證明立體幾何問題的依據(jù)還是相應(yīng)的判定定理，如第一問中必須強調(diào)；另外，用法向量求二面角時，求出的可能是要求的角的補角，要仔細判斷二面角時銳角還是鈍角.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知四棱錐中平面，
且，底面為直角梯形，
分別是的中點．

（1）求證：// 平面；
（2）求截面與底面所成二面角的大小；
（3）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是一直角梯形，，,，且PA=AD=DC=AB=1.

(1)證明：平面平面
(2)設(shè)AB,PA,BC的中點依次為M、N、T，求證：PB∥平面MNT
(3)求異面直線與所成角的余弦值

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（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，， E、F分別為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面平面．
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

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（本小題滿分12分）在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）中，，，且異面直線與所成的角等于．

（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求與平面所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中點.

（1）求證：平面O1AC平面O1BD
（2）求二面角O1－BC－D的大小；
（3）求點E到平面O1BC的距離.

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(本題13分)
如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.分別是的中點.

(1) 求證：；
(2) 求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．AC，BD交于O點．

（1）二面角Q－BD－C的大�。�
（2）求二面角B－QD－C的大�。�

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