在直角坐標系中,角φ、2x的終邊分別與單位圓(以原點O為圓心)交于A、B兩點,函數(shù)f(x)=
OA
 • 
OB
,若f(x)≤f(
π
6
)
對x∈R恒成立.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的對稱軸與單調(diào)遞減區(qū)間.
(1)∵角φ、2x的終邊分別與單位圓(以原點O為圓心)交于A、B兩點,
OA
=(cosφ,sinφ),
OB 
=(cos2x,sin2x)
f(x)=
OA
 • 
OB
=cosφcos2x+sinφsin2x=cos(2x-φ)
f(x)≤f(
π
6
)
對x∈R恒成立,
f(
π
6
)
=1,即cos(2×
π
6
-φ)=1
φ-
π
3
=2kπ

∴φ=2kπ+
π
3
,k∈Z
∴f(x)=cos[2x-(2kx+
π
3
)]=cos(2x-
π
3
),
即函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=cos(2x-
π
3

(2)由(1)知,f(x)=cos(2x-
π
3
),
令2x-
π
3
=kπ,k∈Z,得x=
2
+
π
6
,k∈Z,
∴f(x)的對稱軸為x=
2
+
π
6
,k∈Z,
∵2kπ≤2x-
π
3
≤2kπ+π
,k∈Z,
+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z,
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 • 
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,若f(x)≤f(
π
6
)
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