Question

已知

i

，

j

分別是x軸，y軸正方向上的單位向量，

OA1

=

j

，

OA2

=10

j

，且

An-1An

=3

AnAn+1

（n=2，3，4，…），在射線y=x（x≥0）上從下到上有點B_i（i=1，2，3，…），

OB1

=3

i

+3

j

，且|

Bn-1Bn

|=2

2

（n=2，3，4，…）．
（1）求A₄A₅；          
（2）求

OAn

與

OBn

的表達式；
（3）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n（n=1，2，3，4，…）面積的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應用

分析：（1）由題意|

An-1An

|=3|

AnAn+1

|是等比關系，根據(jù)等比數(shù)列公式求出通項，從而求得結果；
（2）由題意（1）中數(shù)列的前n項和即為A_n的縱坐標，再由在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁，B₂，…，B_n，即可得出B_n的坐標；
（3）根據(jù)四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積和，即可求出面積的表達式，再作差S_n-S_n-1，確定其單調(diào)性，從而求出最大值．

解答： 解：（1）∵

An-1An

=3

AnAn+1

，
∴

AnAn+1

=

1

3

An-1An

；
∴

A4A5

=

1

3

A3A4

=(

1

3

)2

A2A3

=(

1

3

)3

A1A2

=

1

27

（

OA2

-

OA1

）=

1

27

×（10

j

-

j

）=

1

3

j

；
（2）由（1）知，

AnAn+1

=(

1

3

)n-1

A1A2

=(

1

3

)n-3

j

，
∴

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

j

+9

j

+3

j

+…+(

1

3

)n-3
=

j

+

9[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

j

=

29-( 1 3 )n-4

2

j

；
又∵|

Bn-1Bn

|=2

2

，且B_n-1、B_n均在射線y=x（x≥0）上，
∴

Bn-1Bn

=2

i

+2

j

；
∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=
3

i

+3

j

+（n-1）（2

i

+2

j

）；
（3）∵|

AnAn+1

|=(

1

3

)n-3，
∴△A_nA_n+1B_n+1的底面邊

AnAn+1

的上高為h₁=2n+3，
又∵|

BnBn+1

|=2

2

，
∴A_n（0，

29-( 1 3 )n-4

2

）到直線y=x的距離是h₂=

29-( 1 3 )n-4

2 2

；
∴S_n=

1

2

•（2n+3）•(

1

3

)n-3
=

1

2

×2

2

×

29-( 1 3 )n-4

2 2

=

29

2

+

n

2n-3

，
而S_n-S_n-1=

n

3n-3

-

n-1

3n-4

＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…；
∴S_max=S₁=

29

2

+(

1

3

)-2=

29

2

+9=

47

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列與平面向量的綜合應用問題，解題時需要做正確的轉(zhuǎn)化和歸納，才能探究出正確的解決方法，是較難的綜合題目．