Question

20．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機(jī)遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次．
（1）是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？
（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量X：
①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由題意列出2×2列聯(lián)表，計算觀測值K²，對照數(shù)表即可得出正確的結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，得出商品和服務(wù)都好評的概率，求出X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出期望與方差．

解答 解：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表為：

	對服務(wù)好評	對服務(wù)不滿意	合計
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

計算觀測值${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}≈11.111＞10.828$，
對照數(shù)表知，在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)；（6分）
（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；
其中$P（X=0）={（\frac{3}{5}）^5}$；
$P（X=1）=C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$；
$P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$；
$P（X=3）=C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$；
$P（X=4）=C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$；
$P（X=5）={（\frac{2}{5}）^5}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	${（\frac{3}{5}）^5}$	$C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$	$C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$	$C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$	$C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$	${（\frac{2}{5}）^5}$

由于X～B（5，$\frac{2}{5}$），
則$EX=5×\frac{2}{5}=2$；
$DX=5×\frac{2}{5}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{6}{5}$．（12分）

點評 本題主要考查了統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，包括獨立性檢驗、離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差的求法問題，也考查了對數(shù)據(jù)處理能力的應(yīng)用問題．