Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，則下列四個命題中真命題的序號為

②③

．①S₂₀₁₁=2011； ②S₂₀₁₂=2012； ③a₂₀₁₁＜a₂；   ④S₂₀₁₁＜S₂．

Answer 1

分析：根據(jù)等式，構(gòu)造函數(shù)，求導函數(shù)，可知函數(shù)是單調(diào)遞增的，再利用函數(shù)的單調(diào)性即等差數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：根據(jù)（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2012x，由于函數(shù)f（x）=x³+2012x是奇函數(shù)，由條件有f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，
求導函數(shù)可得：f′（x）=3x²+1＞0，所以函數(shù)f（x）=x³+x是單調(diào)遞增的，
而f（1）=2＞1=f（a₂-1），即a₂-1＜1，解得a₂＜2
∵f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，
∴a₂-1＞a₂₀₁₁-1，a₂-1=-（a₂₀₁₁-1）
，∴a₂＞0＞a₂₀₁₁，a₂+a₂₀₁₁=2，
∴S₂₀₁₂=

a1+a2012

2

×2012=2012；
又S₂₀₁₁=S₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2012-（2-a₂+d）=2010+a₁＞a₁+a₂=S₂，
綜上知，S₂₀₁₂=2012； a₂₀₁₁＜a₂； 
故真命題為：②③
故答案為：②③

點評：本題考查函數(shù)與方程的思想，綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列求和公式以及函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題