Question

【題目】某公司今年年初用25萬元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用an的信息如圖．

（1）求an；
（2）引進(jìn)這種設(shè)備后，第幾年后該公司開始獲利；
（3）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，a1=2，a2=4，

∴每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

∴an=a1+2（n﹣1）=2n

（2）解：設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），

則f（n）=21n﹣[2n+ ×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，

由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，

解得10﹣5 ＜n＜10+5 ，

因?yàn)閚∈N，所以n=2，3，4，…18．

即從第2年該公司開始獲利

（3）解：年平均收入為 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，

當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，年平均收益最大．

所以這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

【解析】（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引進(jìn)這種設(shè)備后第2年該公司開始獲利．（3）年平均收入為 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，由此能求出這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式的相關(guān)知識，掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號）；變形公式：，以及對數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．