Question

已知0＜b＜1+a，記關(guān)于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集為M．
（1）若集合M中的整數(shù)有無限個，求a的范圍；
（2）若集合M中的整數(shù)恰有3個，求證：1＜a＜3．

Answer 1

分析：（1）由題意可得①若1-a=0，M={x|x＜

b

2

 }，顯然M中的整數(shù)有無限個，符合條件．②1-a≠0，若要有無數(shù)個整數(shù)解，則應(yīng)1-a＞0，即a＜1，再由已知0＜b＜1+a，得到a的范圍．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時，x的解在兩個實數(shù)之間，集合M={x|

b

1-a

＜x＜

b

1+a

}，若要M中的整數(shù)恰有3個，則-3≤

b

1-a

＜-2，從而得到2＜

b

1-a

＜

1+a

1-a

，求得a＜3，進而得到命題成立．

解答：解：（1）由（x-b）²＞（ax）² 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1時，不等式化為（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜

b

2

 }，顯然M中的整數(shù)有無限個，符合條件．
②1-a≠0，即a≠1時，若要有無數(shù)個整數(shù)解，則應(yīng)1-a＞0，即a＜1；
再由已知條件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
綜上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時，x的解在兩個實數(shù)之間，不等式即（x-

b

1+a

）（x-

b

1-a

）＜0，
又可得0＜

b

1+a

＜1，

b

1-a

＜0，所以集合M={x|

b

1-a

＜x＜

b

1+a

}．
若要M中的整數(shù)恰有3個，則 -3≤

b

1-a

＜-2，即 2＜

b

1-a

≤3，
所以，2＜

b

1-a

＜

1+a

1-a

，解得a＜3．
綜上可知1＜a＜3．

點評：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．