【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中b,c∈R.
(1)當(dāng)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱時(shí),b=______;
(2)如果f(x)在區(qū)間[-1,1]不是單調(diào)函數(shù),證明:對任意x∈R,都有f(x)>c-1;
(3)如果f(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求c2+(1+b)c的取值范圍.
【答案】(1)-2 (2)證明見解析 (3)(0,)
【解析】
(1)求得f(x)的對稱軸,由題意可得b的方程,解方程可得b;
(2)由題意可得-1<-<1,即-2<b<2,運(yùn)用f(x)的最小值,結(jié)合不等式的性質(zhì),即可得證;
(3)f(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),設(shè)為r,s,(r≠s),r,s∈(,1),可設(shè)f(x)=(x-r)(x-s),將c2+(1+b)c寫為f(0)f(1),再改為r,s的式子,運(yùn)用基本不等式即可得到所求范圍.
(1)函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對稱軸為x=-,
由f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
可得-=1,解得b=-2,
故答案為:-2.
(2)證明:由f(x)在[-1,1]上不單調(diào),
可得-1<-<1,即-2<b<2,
對任意的x∈R,f(x)≥f(-)=-+c=c-,
由-2<b<2,可得f(x)≥c->c-1;
(3)f(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
設(shè)為r,s,(r≠s),r,s∈(0,1),
可設(shè)f(x)=(x-r)(x-s),
由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s),
且0<rs(1-r)(1-s)<[]2[]2=,
則c2+(1+b)c∈(0/span>,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)0<a<1,則函數(shù)f(x)=loga||( )
A.在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞增
B.在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減
C.在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞增
D.在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱底面ABCD,且,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).
(1)求證:平面EFH;
(2)求證:平面AHF;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商銷售某種產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出該產(chǎn)品獲利潤元;未售出的產(chǎn)品,每虧損元.根據(jù)以往的銷售記錄,得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了該產(chǎn)品.用(單位:,)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)將表示為的函數(shù);
(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R,對任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,當(dāng)x>時(shí),f(x)>0.給出以下結(jié)論
①f(0)=-
②f(-1)=-
③f(x)為R上減函數(shù)
④f(x)+為奇函數(shù);
⑤f(x)+1為偶函數(shù)
其中正確結(jié)論的有( 。﹤(gè)
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x+a沒有交點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=+m2x-1,x∈[0,log23],是否存在實(shí)數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(Ⅰ)證明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(Ⅱ)求三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積.
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