(2009•武漢模擬)(文科做) 如圖,在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中M、N、P、Q分別為AD,CD,BB1,C1D1的中點
(1)求點P到平面MNQ的距離;
(2)求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值.
分析:(1)根據(jù)PB∥平面MNQ,則P到平面MNQ的距離即為B到平面MNQ的距離,在平面ABCD中,連接BD則BD⊥MN,求出點B到MN的距離即可求出所求;
(2)設(shè)N到MPQ之距為d,然后利用利用等體積法求出d,從而可求出PN與平面MPQ所成角θ的正弦值.
解答:解:(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P、Q分別為AD、DC、BB1、C1D1中點
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ,∴P到平面MNQ的距離即B到平面MNQ的距離.
在平面ABCD中,連接BD則BD⊥MN,故B到MN之距為
3
4
2a
=
3
2a
4
,
因此P到平面MNQ的距離為
3
2a
4

(2)在四面體N-MPQ中,Vp-MNQ=
1
3
•(
1
2
2
2
a•a)•
3
2a
4
=
a3
8
,又底面三角形MPQ是正三角形,MQ=PQ=MP=
6
2
a
    S△MPQ=
3
4
(
6
2
a)2=
3
3
8
a2
,
設(shè)N到MPQ之距為d
Vn-MPQ=
1
3
S△MPQ•d=
1
3
3
3
8
a2•d=
a3
8
,
d=
a
3
PN=
3
2
a

故PN與平面MPQ所成角θ的正弦值sinθ=
a
3
3
2
a
=
2
3
點評:本題主要考查了直線與平面所成的角,以及點、線、面間的距離計算,屬于中檔題.
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