Question

將圓x²+y²=4壓扁得到橢圓C，方法是將該圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="4kqu6zx" class="MathJye">

3

2

倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左焦點為F₁，右焦點F₂，直線l過點F₁且垂直于橢圓的長軸，點P為直線l上的動點，過點P且垂直于l的動直線l₁與線段PF₂垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C′的方程；
（3）是否存在過點（0，-2）的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點，使以AB為直徑的圓過點O（O是坐標原點），若存在，求直線l₂的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="9pid1n4" class="MathJye">

3

2

倍．
∴a=2，b=

3

，再判斷焦點位置，即可求出橢圓方程．
（2）利用直接法，設點M坐標，再找到|MP|=|MF₂|，轉化為含M點坐標的等式，化簡即可．
（3）先假設存在過點（0，-2）的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點，使以AB為直徑的圓過點O（O是坐標原點），
則OA⊥OB，再直線l₂方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，以及OA⊥OB來解即可．

解答：解：（1）設所求橢圓上的任意點的坐標為（x，y），圓上的對應點為（x′，y′），
依題意得

x=x/ y= 3 2 y/

∴

x/=x y/= 2 3 3 y

，x^/2+y^/2=4，
∴x2+

4y2

3

=4，∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）依題意|MP|=|MF₂|，F₂（1，0），l：x=-1，M(x，y)，

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡得點M的軌跡方程為y²=4x
（3）假設存在直線l₂滿足條件，顯然直線l₂的斜率存在，設其方程為y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依題意得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0
由方程組得 

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-16kx+4=0，則x1+x2=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

∴

4(1+k2)

3+4k2

-2k×

16k

3+4k2

+4=0，整理得k2=

4

3

，k=±

2 3

3

，
又△＞0，∴k2＞

1

4

，∴k=±

2 3

3

符合題意．
所以存在直線l₂方程為y=±

2 3

3

x-2

點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系，以及直接法求軌跡方程，屬常規(guī)題，應該掌握．