Question

單調遞增數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足Sn=

1

2

(

a

2 n

+n)
（1）求a₁，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1 a 2 n+1 -1         n為奇數(shù) 3×2an-1+1   n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a₁=1，繼而可證數(shù)列{a_n}為首項是1，公差為1的等差數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=n，于是可得c_n=

1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n為奇數(shù) 3×2n-1+1，n為偶數(shù)

，利用分組求和法即可求得數(shù)列{c_n}的前20項和T₂₀．

解答：解：（1）∵S_n=

1

2

（an2+n），
∴當n=1時，a₁=

1

2

a12+

1

2

，
解得a₁=1；
當n≥2時，S_n-1=

1

2

（an-12+n-1），
∴a_n=

1

2

（an2-an-12）+

1

2

，
∴an-12=(an-1)2，
∴a_n-1=a_n-1或a_n-1=1-a_n，n≥2．
∵數(shù)列{a_n}為單調遞增數(shù)列，且a₁=1，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}為首項是1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，c_n=

1 a 2 n+1 -1         n為奇數(shù) 3×2an-1+1   n為偶數(shù)

=

1 (n+1)2-1 ，n為奇數(shù) 3×2n-1+1，n為偶數(shù)

=

1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n為奇數(shù) 3×2n-1+1，n為偶數(shù)

，
∴T₂₀=（c₁+c₃+…+c₁₉）+（c₂+c₄+…+c₂₀）
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

19

-

1

21

）]+3（2+2³+…+2¹⁹）+10
=

10

21

+3•

2(1-410)

1-4

+10
=2²¹+8

10

21

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關系的確定，考查分組求和的應用，突出裂項法與等比數(shù)列的公式法求和的綜合應用，屬于難題．