Question

22、函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）內可導，導函數f'（x）是減函數，且f′（x）＞0．設x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））得的切線方程，并設函數g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（Ⅱ）證明：當x₀∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）．

Answer 1

分析：（I）先利用點斜式表示出切線方程，然后根據切線方程與y=kx+m是同一直線建立等式關系，求出m即可；
（II）比較g（x）與f（x）的大小可利用作差比較，構造函數h（x）=g（x）-f（x），然后利用導數研究函數h（x）的單調性，求出函數h（x）的最小值，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（Ⅱ）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因為f'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當x＞x₀時，h'（x）＞0；
當x＜x₀時，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點，且是極小值點，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及比較兩函數的大小，比較大小常常運用作差法進行比較，屬于中檔題．