Question

13．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，${a_n}=\frac{{3-{a_{n-1}}}}{2}（n≥2）$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 由${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{3}{2}$，設(shè)${a_n}+d=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}+d）$，解得d可得，${a_n}-1=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-1）$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．

解答 解：∵${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{3}{2}$，設(shè)${a_n}+d=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}+d）$，
∴d=-1，
∴${a_n}-1=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-1）$，
∴{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，
∴${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}+1$，
∴${S_n}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}•{（-\frac{1}{2}）^n}+n$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．