Question

若定義在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=f（-x），且當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f(x)=|

2x-3

x-1

|，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A．存在t∈R，使f（x）≥2在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]恒成立
• B．對(duì)任意t∈R，0≤f（x）≤2在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]恒成立
• C．對(duì)任意t∈R^-，f（x）在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]上始終存在反函數(shù)
• D．對(duì)任意t∈R⁺，f（x）在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]上始終存在反函數(shù)

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=f（-x），得出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)已知條件作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示．觀察圖象利用圖解法對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=f（-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，
且當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f(x)=|

2x-3

x-1

|，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示．觀察圖象得：
A：不存在t∈R，使f（x）≥2在長(zhǎng)度為1的區(qū)間上恒成立；故A錯(cuò)．
B：對(duì)任意t∈R，0≤f（x）≤2在[t-

1

2

，t+

1

2

]不是恒成立；故B錯(cuò)．
C：任意t∈R^-，f（x）在[t-

1

2

，t+

1

2

]上始終是單調(diào)函數(shù)，故存在反函數(shù)；C正確．
D：對(duì)任意t∈R⁺，f（x）在[t-

1

2

，t+

1

2

]上不是始終是單調(diào)的，不一定存在反函數(shù)；故D錯(cuò)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、帶絕對(duì)值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．