Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥1時(shí)，證明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），證明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜．

Answer 1

解：（1）方法一：∵x≥1，∴
而x≥1時(shí)，lnx≥0∴x≥1時(shí)，f（x）-x≤lnx，∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1），，，∵x≥1，∴，∴，
故φ（x）是定義域[1，+∞）上的減函數(shù)，∴當(dāng)x≥1時(shí)，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即當(dāng)x≥1時(shí)，恒成立．∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）a_n+1=f（a_n），∴，∵，
∴=，
又，∴b_n是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．
又，．（10分）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=，．
分析：（1）方法一：先證明f（x）-x≤0，再證明lnx≥0，從而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）-x-lnx；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出函數(shù)最大值φ（1），而φ（1）=0，從而不等式恒成立．
（2）先利用a_n+1=f（a_n）通過取倒數(shù)變形，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義，求出公比，從而證得．
（3）利用（2）問中求出的{a_n}的通項(xiàng)公式，代入c_n=a_n•a_n+1•b_n+1中，并用分離法拆成兩項(xiàng)之差，然后用疊加法即可解答．
點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，等比數(shù)列常規(guī)證明及裂項(xiàng)后用疊加的方法．