Question

8．定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個均值點，現(xiàn)有函數(shù)f（x）=e^x+mx是區(qū)間[0，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2-e]
• B． （-∞，2-e）
• C． [2-e，+∞）
• D． （2-e，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e^x+mx是區(qū)間[0，1]上的平均值函數(shù)，故有e^x+mx=$\frac{f（1）-f（0）}{1-0}$在（0，1）內(nèi)有實數(shù)根，進而可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x+mx是區(qū)間[0，1]上的平均值函數(shù)，
∴關(guān)于x的方程e^x+mx=$\frac{f（1）-f（0）}{1-0}$在（0，1）內(nèi)有實數(shù)根．
即e^x+mx=e+m-1在（0，1）內(nèi)有實數(shù)根．
即e^x=-mx+e+m-1在（0，1）內(nèi)有實數(shù)根．
由y=-mx+e+m-1表示過P（1，e-1）斜率為-m的直線，
y=e^x，x∈[0，1]過A（0，1），B（1，e）點，
由PA的斜率為e-2，PB的斜率不存在，可得：
-m∈（-∞，e-2），
故m∈（2-e，+∞），
故選：D

點評 本題主要是在新定義下考查方程根的問題．在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義做題．