Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上任意一個(gè)動點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F₁的距離的最大值 為$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線L的斜率為k，且過左焦點(diǎn)F₁，與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF₂的面積為$\frac{\sqrt{10}}{3}$，試求k的值及直線L的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a+c=$\sqrt{2}+1$，可得a、b、c；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$化簡，結(jié)合韋達(dá)定理求解求得PQ，用距離公式得點(diǎn)F₂到直線l的距離d，s_△PQF2=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，即可求得k．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a+c=$\sqrt{2}+1$∴$a=\sqrt{2}c，c=1，a=\sqrt{2}$．橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l：y=k（x+1），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{2\sqrt{2}（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}$，
點(diǎn)F₂到直線l的距離$d=\frac{2|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴s_△PQF2=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
化簡得：16k⁴+16k²-5=0，
（4k²+5）（4k²-1）=0，∴k²=$\frac{1}{4}$，k=±$\frac{1}{2}$
∴直線l的方程為x±2y+1=0．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．