Question

已知直線（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0（m∈R）所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若

12

5

≤|FA|•|FB|≤

18

7

，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）條件中給出一個(gè)直線系，需要先做出直線所過的定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，寫出橢圓中三個(gè)字母系數(shù)要滿足的條件，解方程組得到結(jié)果，寫出橢圓的方程．
（II）設(shè)出直線的方程和兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立寫出判別式的條件和根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)所給的條件，代入不等式求出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0得（x-3y-1）+m（3x+2y-3）=0，
由

x-3y-1=0 3x+2y-3=0

，解得F（1，0）．
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=1 a+c=3 a2=b2+c2

解得a=2，b=

3

，c=1，
從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）　過F的直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因點(diǎn)F在橢圓內(nèi)部必有△＞0，
有

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

，
∴|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|=

9(1+k2)

3+4k2

由

12

5

≤

9(1+k2)

3+4k2

≤

18

7

，得1≤k²≤3，解得-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

，
∴直線l的斜率的取值范圍為[-

3

，-1]∪[1，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類題目常用的一種形式，注意求橢圓的方程時(shí)，數(shù)字的運(yùn)算不要出錯(cuò)，不然后面的運(yùn)算都是錯(cuò)誤的．