Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取CD的中點(diǎn)E，連接BE．可證四邊形ABED是矩形，故而AB⊥AD，結(jié)合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；
（II）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PD}$和平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$＞|．

解答 證明：（I）取CD的中點(diǎn)E，連接BE．
∵BC=BD，E為CD中點(diǎn)，∴BE⊥CD，
又∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=DE，
∴四邊形ABED是矩形，
∴AB⊥AD，
又AB⊥PA，PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD．
∵AB∥CD，
∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，以平面ABCD過(guò)點(diǎn)A的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)角系A(chǔ)-xyz，如圖所示：
∵PB=BD=$\sqrt{6}$，AB=$\sqrt{2}$，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．
∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}$，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，2，0）．
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+2y=0}\\{-\sqrt{2}x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{\frac{10}{3}}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．