Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值時x取值構(gòu)成的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，a=1，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值以及對應(yīng)x的取值集合；
（Ⅱ）根據(jù)題意求出A的值，再利用正弦定理求出b、c的解析式，寫出△ABC的周長L，求出它的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x
=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+2×$\frac{1+cos2x}{2}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
（Ⅰ）令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的最大值為1+1=2，
且f（x）取最大值時x的取值集合是{x|x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}；
（Ⅱ）△ABC中，f（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴-sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]+1=$\frac{3}{2}$，
sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B+C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2（B+C）-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2（B+C）-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
又∵a=1，
∴$\frac{a}{ainA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴△ABC的周長為：
L=a+b+c
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-C）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+cosC+$\sqrt{3}$sinC
=1+2sin（C+$\frac{π}{6}$），
∵0＜C＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$時，△ABC的周長取最大值為1+2=3．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、和差公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，也考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．