已知f(x)=(x∈R),在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(Ⅰ)(x)==,∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),∴(x)≥0對(duì)x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0對(duì)x∈[-1,1]恒成立.①設(shè)(x)=x2-ax-2, 方法一: 、-1≤a≤1,∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí), (-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),(1)=0∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二: 、 或 ∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實(shí)根,
x1x2=-2,②設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: ② 方法二: 當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;當(dāng)m≠0時(shí), ② 所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:宜都一中2008屆高三數(shù)學(xué)周練(5) 題型:044
已知f(x)=x(x-a)(x-b),點(diǎn)A(s,f(s)),B(t,f(t)).
(1)若a=b=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足:當(dāng)|x|≤1時(shí),有恒成立,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式;
(3)若0<a<b,函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值,且a+b=,證明:與不可能垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿(mǎn)足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線(xiàn)方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
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