已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)如圖,P是雙曲線C上一點,A、B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.
(1) -x2=1 (2)
解析解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,
∴=,即=.
由得
∴雙曲線C的方程為-x2=1.
(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,
設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
由=λ得P點坐標為,
將P點坐標代入-x2=1,化簡得mn=.
設(shè)∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.
∴tanθ=,sin2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ
=2mn
=+1,
記S(λ)=+1,λ∈.
則S′(λ)=.
由S′(λ)=0得λ=1.
又S(1)=2,S=,S(2)=,
∴當λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當λ=時,
△AOB的面積取得最大值.
∴△AOB面積的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)A、B分別為橢圓=1(a>b>0)的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且直線x=4是它的右準線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)P為橢圓右準線上不同于點(4,0)的任意一點,若直線BP與橢圓相交于兩點B、N,求證:∠NAP為銳角.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸,證明:直線AC經(jīng)過原點O.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P(,),Q(,1),求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
(3)若點M的橫坐標為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知常數(shù),向量,經(jīng)過定點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于,其中,
(1)求點的軌跡的方程;(2)若,過的直線交曲線于兩點,求的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我校某同學(xué)設(shè)計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,,點為軸上一點,記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)當“蝴蝶形圖案”的面積最小時求的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為,設(shè)左頂點為A,上頂點為B且,如圖.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,過的直線交橢圓于兩點,試確定的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com