Question

已知向量

m

=(cosx+sinx，

3

cosx)，

n

=（cosx-sinx，2sinx），若函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求角A、B、C的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)f（A）=1，可求A=

π

3

，再利用余弦定理及a=1，b+c=2，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵

m

=(cosx+sinx，

3

cosx)，

n

=（cosx-sinx，2sinx）
∴f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+

3

cosx•2sinx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；（6分）
（2）因為f（A）=1，所以sin（2x+

π

6

）=

1

2

．
∵

π

6

＜2x+

π

6

＜

13π

6

，
∴2x+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵a=1，b+c=2，
∴bc=1
∴b=c=1
∴△ABC為等邊三角形，即A=B=C=

π

3

（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的性質(zhì)，同時考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．