Question

（2012•南京二模）甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加青奧知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分，假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是

2

3

，乙班三名同學(xué)答對的概率分別是

2

3

，

2

3

，

1

2

，且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響．
（1）用X表示甲班總得分，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（2）記“兩班得分之和是30分”為事件A，“甲班得分大于乙班得分”為事件B，求事件A，B同時發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）確定隨機變量X的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求得隨機變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）分別求得事件A，B的概率，利用互斥事件的概率公式，可得結(jié)論．

解答：解：（1）隨機變量X的可能取值是0，10，20，30，且
P（X=0）=

C

0 3

（1-

2

3

）³=

1

27

，P（X=10）=

C

1 3

•

2

3

•（1-

2

3

）²=

2

9

，
P（X=20）=

C

2 3

（

2

3

）²（1-

2

3

）=

4

9

，P（X=30）=

C

3 3

（

2

3

）³=

8

27

所以，X的概率分布為

X	0	10	20	30
P	1 27	2 9	4 9	8 27

…3分
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×

1

27

+10×

2

9

+20×

4

9

+30×

8

27

=20．…5分
（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：

C

2 3

（

2

3

）²（1-

2

3

）×[

2

3

×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×

1

2

]=

10

34

；
甲班得30分，且乙得班0分的概率是：

C

3 3

（

2

3

）³×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）=

4

35

．
所以事件A，B同時發(fā)生的概率為

10

34

+

4

35

=

34

243

．　　 …10分

點評：本題考查互斥事件概率公式的運用，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．