【題目】已知圓:,點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程.
(2)設(shè)點(diǎn),是的軌跡上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn),以為直徑的圓過點(diǎn).求證直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)直線過定點(diǎn),證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)已知可得,從而得點(diǎn)的軌跡為橢圓,即可求出方程;
(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立,得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,再由已知可得,利用和兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,整理出關(guān)系或求出為定值,即可求出結(jié)論.
(1)圓:,得圓心,半徑,
的垂直平分線交線段于點(diǎn),
,
點(diǎn)的軌跡為橢圓,且焦點(diǎn)在軸,,
,
點(diǎn)的軌跡方程為;
(2)依題意直線斜率存在,設(shè)其方程為,
聯(lián)立,消去得,,
,
設(shè),則,
以為直徑的圓過點(diǎn),,
,
,
整理得,此時(shí)恒成立,
所以直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中,平面,,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,指出點(diǎn)的位置并給出證明,若不存在,說明理由;
(3)若,求二面角的大小.
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【題目】在三棱柱中,⊥底面,,,為線段上一點(diǎn).
(Ⅰ)若,求與所成角的余弦值;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的大;
(Ⅲ)若二面角的大小為,求的值.
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【題目】拋物線上任意兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),稱為“阿基米德三角形”.當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時(shí),具有以下特征:①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;②為直角三角形,且;③.若經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的一條弦為,阿基米德三角形為,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則直線的方程為( )
A.B.
C.D.
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【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;
(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月(按30天計(jì)算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:(i);
(ii)對(duì)任意,對(duì)恒成立.
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【題目】已知為常數(shù), ,函數(shù), (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,設(shè)切點(diǎn)為,求證: ;
(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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【題目】如圖,已知拋物線,過拋物線上點(diǎn)B作切線交y軸于點(diǎn)
(Ⅰ)求拋物線方程和切點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)過點(diǎn)作拋物線的割線,在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)記為,,設(shè)為y軸上一點(diǎn),滿足,為中點(diǎn),求的取值范圍。
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