Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．
（1）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，進而由面面垂直的性質(zhì)定理得到AE⊥平面EBCF，進而建立空間坐標(biāo)系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，即可證得BD⊥EG；
（2）根據(jù)等體積法，我們可得f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易求出f（x）有最大值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，我們求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．

解答：證明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵EF∥AD，∠AEF=

π

2

，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G為BC的中點，BC=4，∴BG=2．
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴

BD

=（-2，2，2），

EG

=（2，2，0），

BD

•

EG

=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
解：（2）∵AD∥面BFC，
所以f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC=

1

3

×S△BCF×AE=

1

3

×

1

2

×4(4-x)x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

，
即x=2時f（x）有最大值為

8

3

．（8分）
（3）設(shè)平面DBF的法向量為

n1

=(x，y，z)，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴

BF

=(-2，3，0)，

BD

=（-2，2，2），
則

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，
即

(x，y，z)•(-2，2，2)=0 (x，y，z)•(-2，3，0)=0

，

-2x+2y+2z=0 -2x+3y=0

取x=3，y=2，z=1，
∴

n1

=(3，2，1)
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一個法向量為

n2

=(0，0，1)，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=

14

14

，（14分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為-

14

14

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，將線線垂直轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0，（2）的關(guān)鍵是利用等體積法將三棱錐BCDF的體積，轉(zhuǎn)化為四棱錐ABCF的體積，（3）的關(guān)鍵是求出平面BDF和平面BCF的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角．