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已知函數f(x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)上任意相異兩點的直線的斜率都大于零,求實數m的最小值;
(Ⅱ)若m=1,且對任意x∈[0,
π
2
],都有不等式f(x)≥g(x)成立,求實數a的取值范圍.
考點:導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程
專題:導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質
分析:(Ⅰ)將已知條件轉化為函數的單調性,再由函數的單調性研究導函數值的正負,從而得出結論;(Ⅱ)通過對不等式的變形,轉化為函數值恒非負問題,求出相應的導函數后,通過兩次分類討論,找出適合條件的參量范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵過曲線y=f(x)上任意相異兩點的直線的斜率都大于0,
∴任取x1,x2∈R,且x1<x2,則由
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>0
,得f(x1)<f(x2).
∴函數f(x)=mx-sinx在R上單調遞增.
∴∴f'(x)=m-cosx≥0恒成立,即m≥cosx,
∴m的最小值為1.
(Ⅱ)∵m=1,
∴f(x)=x-sinx.
∵f(x)≥g(x),
∴x+sinx-axcosx≥0.
對于任意的x∈[0,
π
2
]
,令H(x)=x+sinx-axcosx,
則H'(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)
=1+(1-a)cosx+axsinx.
(1)當1-a≥0,即0<a≤1時,H'(x)=1+(1-a)cosx+axsinx>0,
H(x)在[0,
π
2
]上單調遞增

∴H(x)≥H(0)=0,符合題意,
∴0<a≤1.
(2)當1-a<0,即a>1時,h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx,
h'(x)=(2a-1)sinx+axcosx,
∵a>1,
∴2a-1>0,
∴h'(x)≥0.
h(x)在[0,
π
2
]上單調遞增
,
h(0)≤h(x)≤h(
π
2
)

2-a≤h(x)≤
π
2
a+1

2-a≤H′(x)≤
π
2
a+1

①當2-a≥0,即1<a≤2時,H'(x)≥0,
∴H(x)在[0,
π
2
]
上為單調增函數,
于是H(x)≥H(0)=0,符合題意.
∴1<a≤2.
②當2-a<0,即a>2時,
存在x0∈[0,
π
2
]
,使得當x∈(0,x0)時,有H'(x)<0,
此時H(x)在(0,x0)上為單調減函數,
從而H(x)<H(0)=0,不能使H(x)>0恒成立.
綜上所述,實數a的取值范圍為0<a≤2.
點評:本題考查了導數和三角函數的知識,主要是運用導函數去判斷函數的單調性,再利用單調性去研究問題.本題的方法明確,需要進行兩次分類討論,運算量較大,有難度,屬于難題.
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a
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π
4
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