Question

已知橢圓

x2

24

+

y2

16

=1，直線l：

x

12

+

y

8

=1．P是l上點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：先設(shè)三個(gè)點(diǎn)P、R、Q的坐標(biāo)分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），利用共線條件得出它們坐標(biāo)的關(guān)系，再依據(jù)條件|OQ|•|OP|=|OR|²，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，最終得到關(guān)于x，y的方程即為所求．

解答：解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)．設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），其中x，y不同時(shí)為零．
當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O、Q、R共線，
得方程組

x 2 R 24 + y 2 R 16 =1 yR xR = y x

解得

x 2 R = 48x2 2x2+3y2 ① y 2 R = 48y2 2x2+3y2 ②

由于點(diǎn)P在直線l上及點(diǎn)O、Q、P共線，得方程組

xp 12 + yp 8 =1 yp xp = y x

．
解得

xp= 24x 2x+3y ③ yp= 24y 2x+3y ④

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證①～④式也成立．
由題設(shè)|OQ|•|OP|=|OR|²，得

x2+y2

•

x 2 P + y 2 P

=(

x 2 R + y 2 R

)2
將①～④代入上式，化簡(jiǎn)整理得

242(x2+y2)2 (2x+3y)2

=

48(x2+y2)

2x2+3y2

因x與x_p同號(hào)或y與yp同號(hào)，以及③、④知2x+3y＞0，
故點(diǎn)Q的軌跡方程為

(x-1)2

5 2

+

(y-1)2

5 3

=1（其中x，y不同時(shí)為零）．
所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為

10

2

和

15

3

且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、橢圓的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質(zhì)等解析幾何的基本思想和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．