Question

7．已知函數(shù)f（x）=2cos2x-sin²x．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再求f（$\frac{π}{3}$）的值．
（2）化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos2x-sin²x．
化簡可得f（x）=2cos2x$+\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$．
（1）則f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{2}$cos2×$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}$=$-\frac{5}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=$-\frac{7}{4}$．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：cos2x最大值為1，最小值為-1，
∴f（x）的最大值2，最小值-3．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．