Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AF⊥PC于點F，F(xiàn)E∥CD交PD于點E．
（1）證明：CF⊥平面ADF；
（2）若AC∩BD=O，證明FO∥平面AED．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證CF⊥平面ADF，需要證明CF垂直面ADF內(nèi)兩相交直線，由AF⊥PC于點F，只需證明AD⊥CF
（2）根據(jù)已知和（1），只要證明F是CP中點即可．

解答： 證明：（1）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD又AD⊥DC，AD∩DC=C根據(jù)線面垂直的判定定理，得AD⊥平面PDC
⇒又CF?面PCD，得AD⊥CF，又AF⊥CF，AF∩CF=C根據(jù)線面垂直的判定定理，得CF⊥平面ADF
（2）因為AD=PD，由（1）知，F(xiàn)為PC中點．∵ABCD為正方形，AC∩BD=O，∴O是AC中點，連接FO，
則FO是三角形ACP的邊AP的中位線，∴FO∥AP，又∵AP?面APD，F(xiàn)O?面APD，根據(jù)線面平行的判定定理，
∴FO∥面APD，即FO∥面AED．

點評：本題考查了線面垂直于線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．