Question

13、設(shè)t≠0，點(diǎn)P（t，0）是函數(shù)f（x）=x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線．試用t表示a，b，c．

Answer 1

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）的圖象都過(guò)點(diǎn)（t，0），故先求出其斜率的值，先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用斜率相等即可使問(wèn)題解決．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）的圖象都過(guò)點(diǎn)（t，0），
所以f（t）=0，
即t³+at=0．因?yàn)閠≠0，所以a=-t²．
g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因?yàn)閒（x），g（x）在點(diǎn)（t，0）處有相同的切線，
所以f′（t）=g′（t）．
而f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
將a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．
故a=-t²，b=t，c=-t³．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．